Przejdź do treści

Lista zadań 03 — Rozkłady prawdopodobieństwa (wybrane modele)

Uwaga: Ta lista zadań jest w trakcie rozwoju. Na razie prosimy jej jeszcze nie robić. :)

Wprowadzenie

W wielu losowych sytuacjach interesuje nas liczba wystąpień pewnych zdarzeń: liczba wadliwych produktów w partii, liczba błędów w tekście, czas oczekiwania na pierwsze zdarzenie albo liczba zgłoszeń w systemie. Do opisu takich zjawisk teoria prawdopodobieństwa używa modeli probabilistycznych, nazywanych również rozkładami prawdopodobieństwa.

Każdy rozkład opisuje inny typ doświadczenia losowego i odpowiada innym założeniom o sposobie występowania zdarzeń.

W tej liście zadań wykorzystujemy pięć ważnych modeli:

  • Rozkład dwumianowy (próby Bernoulliego) – modeluje liczbę sukcesów w ustalonej liczbie niezależnych prób o dwóch wynikach (sukces/porażka).
  • Rozkład hipergeometryczny – stosowany, gdy losujemy elementy bez zwracania z populacji skończonej zawierającej elementy różnych typów.
  • Rozkład geometryczny – opisuje liczbę prób potrzebnych do uzyskania pierwszego sukcesu w ciągu niezależnych prób.
  • Rozkład Poissona – modeluje liczbę zdarzeń zachodzących w danym przedziale czasu lub przestrzeni.
  • Rozkład wielomianowy – uogólnienie modelu dwumianowego na sytuacje, w których każda próba może dać więcej niż dwa możliwe wyniki.

Analiza tych modeli pozwala formalnie opisać doświadczenia losowe i obliczać prawdopodobieństwa zdarzeń w wielu praktycznych sytuacjach.

Zadanie 1 — Model dwumianowy (kontrola jakości)

W fabryce produkowane są śruby. Każda śruba może być dobra albo wadliwa.
Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana śruba jest wadliwa, wynosi \(p\).

Rozważamy doświadczenie polegające na sprawdzeniu 3 kolejnych śrub.

Polecenia

  1. Opisz doświadczenie losowe.
  2. Wyznacz przestrzeń prób \( \Omega \).
  3. Podaj prawdopodobieństwa elementów przestrzeni prób.
  4. Zdefiniuj, co uznajesz za sukces w tym modelu.

Zadanie 2 — Model hipergeometryczny (pobieranie z partii)

Magazyn zawiera 20 komponentów, z czego 5 jest wadliwych, a 15 sprawnych.

Losowo wybieramy 4 komponenty bez zwracania do kontroli.

Polecenia

  1. Opisz doświadczenie losowe.
  2. Zdefiniuj przestrzeń prób \( \Omega \) jako liczbę wadliwych elementów w próbie.
  3. Wyznacz możliwe wartości zmiennej losowej.
  4. Podaj rozkład prawdopodobieństwa.
  5. Wyjaśnij, co oznacza sukces w tym modelu.

Zadanie 3 — Model geometryczny (oczekiwanie na pierwsze zdarzenie)

W drukarni każda wydrukowana strona może zawierać błąd druku z prawdopodobieństwem \(p\).

Doświadczenie polega na obserwowaniu kolejnych stron aż do pojawienia się pierwszego błędu.

Polecenia

  1. Opisz doświadczenie losowe.
  2. Wyznacz przestrzeń prób \( \Omega \).
  3. Podaj rozkład prawdopodobieństwa.
  4. Określ, co uznajesz za sukces.

Zadanie 4 — Model Poissona (napływ zdarzeń)

Usługa internetowa otrzymuje średnio 3 zgłoszenia błędów na godzinę.

Zakładamy, że liczba zgłoszeń w danym przedziale czasu ma rozkład Poissona.

Polecenia

  1. Opisz doświadczenie losowe.
  2. Wyznacz przestrzeń prób \( \Omega \).
  3. Podaj wzór na rozkład prawdopodobieństwa.
  4. Zinterpretuj parametr \( \lambda \).

Zadanie 5 — Model wielomianowy (kategorie wyników)

Gracz rzuca kostką 5 razy.

Wyniki grupujemy w trzy kategorie:

  • małe liczby (1–2)
  • średnie liczby (3–4)
  • duże liczby (5–6)

Polecenia

  1. Opisz doświadczenie losowe.
  2. Zdefiniuj przestrzeń prób.
  3. Zapisz rozkład wielomianowy.
  4. Wyjaśnij interpretację parametrów.

Zadanie 6 — Model dwumianowy

Prawdopodobieństwo wyprodukowania wadliwej części wynosi 0.04.

Kontroler sprawdza 10 części.

Oblicz prawdopodobieństwo, że:

  • dokładnie 2 części są wadliwe,
  • co najmniej jedna część jest wadliwa.

Zadanie 7 — Model hipergeometryczny

Pudełko zawiera:

  • 12 sprawnych żarówek
  • 3 wadliwe

Losujemy 5 żarówek bez zwracania.

Oblicz prawdopodobieństwo, że w próbie będą dokładnie 2 wadliwe żarówki.

Zadanie 8 — Model geometryczny

Prawdopodobieństwo błędu podczas kompilacji programu wynosi 0.1 dla każdej kompilacji.

Programista wykonuje kolejne kompilacje aż do wystąpienia pierwszego błędu.

Oblicz prawdopodobieństwo, że:

  • pierwszy błąd pojawi się przy 4. kompilacji,
  • pojawi się najpóźniej przy 3. kompilacji.

Zadanie 9 — Model Poissona

Centrum obsługi klienta otrzymuje średnio 5 zgłoszeń na godzinę.

Oblicz prawdopodobieństwo, że w ciągu jednej godziny:

  • wystąpią dokładnie 3 zgłoszenia,
  • wystąpi co najmniej jedno zgłoszenie.

Zadanie 10 — Model wielomianowy

Pudełko zawiera cukierki trzech smaków:

  • truskawkowe – 40%
  • cytrynowe – 35%
  • miętowe – 25%

Losowo wybieramy 6 cukierków niezależnie.

Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy:

  • 3 truskawkowe
  • 2 cytrynowe
  • 1 miętowy