Przejdź do treści

LISTA ZADAŃ NR 11: Wstęp do teorii decyzji statystycznych

Zadanie 1

Rozważamy partię towaru (np. procesorów), w której badamy wadliwość. Testujemy hipotezę \(H_0: p = 0,02\) (partia dobra) przeciwko \(H_1: p = 0,10\) (partia wadliwa). Zbudowano test, który odrzuca partię, jeśli liczba wadliwych sztuk w próbce o liczebności \(n=50\) przekroczy \(k=3\).

Obliczyć:

  1. Prawdopodobieństwo błędu I rodzaju \(\alpha\) (odrzucenie dobrej partii – ryzyko producenta).
  2. Prawdopodobieństwo błędu II rodzaju \(\beta\) (przyjęcie złej partii – ryzyko konsumenta).

Zadanie 2

Dla testu z Zadania 1 wyznaczyć moc testu (\(1-\beta\)) dla kilku alternatywnych wartości parametru \(p\). Sporządzić wykres krzywej mocy testu (funkcji mocy). Co ten wykres mówi nam o „czułości” algorytmu decyzyjnego na odchylenia od normy?

Zadanie 3

Dla testu średniej \(H_0: \mu = 100\) przy znanym \(\sigma=5\) i \(n=25\):

  1. Wyznaczyć wzór na funkcję operacyjno-charakterystyczną (OC): \(L(\mu) = P(\text{akceptacja } H_0 | \mu)\).
  2. Jak zmiana liczebności próby na \(n=100\) wpłynie na stromość tej krzywej (zdolność rozróżniania)? Rozważamy test jednostronny przy poziomie istotności ( \alpha = 0.05 ).

Zadanie 4

Chcemy skonstruować jednostronny test średniej dla populacji o rozkładzie normalnym z znanym odchyleniem standardowym \(\sigma = 5\).

Testujemy hipotezy:

\[ H_0: \mu = \mu_0 \quad \text{przeciwko} \quad H_1: \mu = \mu_0 + 2. \]

Wymagania bezpieczeństwa są następujące:

  • Ryzyko błędu I rodzaju (odrzucenie normy, gdy jest spełniona) ma wynosić \(\alpha = 0.01\).
  • Ryzyko błędu II rodzaju (przyjęcie normy, gdy rzeczywiste przesunięcie średniej wynosi 2 jednostki) ma nie przekraczać
    \(\beta = 0.05\).

Zakładając, że test oparty jest na statystyce

\[ Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}, \]

wyznaczyć minimalną liczebność próby \(n\), która spełnia powyższe warunki.

Zadanie 5

Wadliwość produkcji pewnych wyrobów wynosiła do tej pory 10% (\(p_0=0,1\)). Nowa technologia ma obniżyć wadliwość do 5% (\(p_1=0,05\)). Zamiast pobierać stałą próbkę, pobieramy elementy po jednym.

Skonstruować test sekwencyjny ilorazu wiarogodności (test Walda), ustalając ryzyka \(\alpha=0,05\) i \(\beta=0,10\).

  1. Wyznaczyć proste decyzyjne (obszar akceptacji, odrzucenia i obszar kontynuacji badania).
  2. Przedstawić procedurę w formie algorytmu (pseudokodu).

Zadanie 6

Dla testu z Zadania 5, przypuśćmy, że wylosowano kolejno: Dobry, Dobry, Zły, Dobry, Dobry, Dobry, Dobry...

Zaznaczyć te punkty na wykresie testu sekwencyjnego. W którym kroku (jeśli w ogóle) algorytm podejmie decyzję „Nowa technologia jest lepsza”?

Zadanie 7

Jedną z zalet metod sekwencyjnych jest to, że średnio wymagają mniej danych niż testy klasyczne. Dla testu z Zadania 5 obliczyć oczekiwaną liczbę kroków (próbek) potrzebną do podjęcia decyzji (ASN), zakładając, że prawdziwa jest hipoteza \(H_0\).

\[ E(n) \approx \frac{\alpha\ln A + (1-\alpha) \ln B}{E(z)} \]

gdzie \(A, B\) to progi decyzyjne. Zmienne ( z ) oznacza logarytm ilorazu wiarygodności dla pojedynczej obserwacji.

Zadanie 8

Automat produkuje detale o średnicy nominalnej \(\mu_0\). Podejrzewamy, że maszyna się rozkalibrowała i średnia wzrosła do \(\mu_1\). Odchylenie \(\sigma\) jest znane.

Skonstruować test sekwencyjny weryfikujący \(H_0: \mu = \mu_0\) przeciwko \(H_1: \mu = \mu_1\). Napisać warunek „stop” dla tego algorytmu. Przyjmujemy poziomy błędów ( \alpha = 0.05 ) oraz ( \beta = 0.10 ).

Zadanie 9

Mamy dwie możliwe decyzje \(d_1\) (wdrożenie systemu) i \(d_2\) (brak wdrożenia) oraz dwa stany natury \(\theta_1\) (system działa poprawnie) i \(\theta_2\) (system ma błędy). Macierz strat (kosztów) wygląda następująco:

  • Jeśli \(d_1\) i \(\theta_1\): Koszt = 0
  • Jeśli \(d_1\) i \(\theta_2\): Koszt = 1000 (awaria u klienta)
  • Jeśli \(d_2\) i \(\theta_1\): Koszt = 100 (utracony zysk)
  • Jeśli \(d_2\) i \(\theta_2\): Koszt = 0

Jaką decyzję należy podjąć, stosując kryterium Minimax (minimalizacja maksymalnej straty)?

Zadanie 10

Dla sytuacji z Zadania 9, załóżmy, że z wcześniejszych testów wiemy, iż prawdopodobieństwo wystąpienia błędów wynosi \(P(\theta_2) = 0,05\). Obliczyć oczekiwaną stratę (ryzyko Bayesa) dla obu decyzji. Która decyzja jest optymalna w sensie bayesowskim?