LISTA ZADAŃ NR 8: Weryfikacja hipotez statystycznych
Zadanie 1
W celu ustalenia, czy dotychczasowa norma okresu użytkowania pewnych podzespołów elektronicznych wynosząca 150 dni nie jest zbyt wysoka, zbadano losowo 65 podzespołów pracujących w normalnych warunkach. Otrzymano średnią długość okresu użytkowania \(\bar{x} = 139\) dni oraz odchylenie standardowe \(s = 9,8\) dni.
Na poziomie istotności \(\alpha=0,01\) zweryfikować hipotezę, że norma jest zawyżona (Hipoteza \(H_0: m = 150\) przeciw \(H_1: m < 150\)).
Zadanie 2
Porównujemy dwa algorytmy lub dwa urządzenia (np. wagi). Dla pierwszej serii \(n_1=10\) pomiarów otrzymano średnią \(\bar{x}_1 = 5,25\) i wariancję \(s_1^2 = 0,06\). Dla drugiej serii \(n_2=5\) pomiarów otrzymano \(\bar{x}_2 = 5,58\) i wariancję \(s_2^2 = 0,07\).
Zakładając, że wariancje są równe (choć nieznane), zweryfikować na poziomie \(\alpha=0,05\) hipotezę, że obie serie pochodzą z populacji o tej samej średniej (\(H_0: m_1 = m_2\)).
Zadanie 3
Zbadano rozrzut opóźnień (jitter) w sieci. Oddano 50 strzałów (pomiarów) do tarczy. Okazało się, że wariancja tych odległości jest równa \(s^2 = 107,3\).
Zakładając, że rozkład odległości jest normalny, zweryfikować na poziomie \(\alpha=0,05\) hipotezę, że wariancja \(\sigma^2 = 100\), wobec hipotezy alternatywnej \(\sigma^2 > 100\).
Zadanie 4
W pewnym przedsiębiorstwie (np. serwerowni) opracowano dwie metody obsługi zleceń. Aby sprawdzić, czy obie metody dają tak samo stabilne wyniki (jednakowe wariancje), wykonano pomiary.
- Metoda 1: \(n_1=5\), wariancja \(s_1^2 = 0,248\).
- Metoda 2: \(n_2=5\), wariancja \(s_2^2 = 2,172\).
Na poziomie \(\alpha=0,05\) zweryfikować hipotezę \(H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2\).
Zadanie 5
Wadliwość produkcji pewnych wyrobów (np. błędnych pakietów danych) wynosiła 10%. Wprowadzono nową technologię. Wylosowano próbkę \(n=900\) sztuk i znaleziono w niej 50 sztuk wadliwych.
Czy na poziomie istotności \(\alpha=0,05\) można twierdzić, że nowa technologia zmniejszyła wadliwość?
Zadanie 6
Obserwowano pod mikroskopem liczbę komórek drożdży w 400 kwadratach (w informatyce: liczba zapytań do serwera w jednostce czasu). Wyniki pogrupowano w poniższej tabeli:
| Liczba komórek (\(x_i\)) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Liczba kwadratów (\(n_i\)) | 20 | 43 | 53 | 86 | 70 | 54 | 37 | 21 | 10 | 4 | 2 |
Na poziomie \(\alpha=0,05\) zweryfikować hipotezę, że rozkład liczby komórek jest rozkładem Poissona.
Zadanie 7
Wynikami 5-elementowej próby są: \(0,18; 0,56; 0,87; 1,37; 2,46\).
Na poziomie istotności \(\alpha=0,05\) zweryfikować hipotezę, że próba ta pochodzi z populacji o rozkładzie wykładniczym \(f(x) = e^{-x}\) dla \(x>0\).
Zadanie 8
Pobrano próbkę \(n=20\) pewnej cechy (np. czas reakcji aplikacji). Wartości uporządkowano rosnąco:
Zweryfikować hipotezę o normalności rozkładu na poziomie \(\alpha=0,10\), stosując test Shapiro-Wilka.
Zadanie 9
Zmierzono czasy wykonania pewnego zadania. Uporządkowano wyniki w kolejności otrzymywania (w czasie). Pełny ciąg reszt dla \(n=20\) pomiarów wygląda następująco:
Parametry do weryfikacji:
- Liczba plusów (\(n_1\)): 10
- Liczba minusów (\(n_2\)): 10
- Liczba serii (\(k\)): 10
Zweryfikować hipotezę o losowości na poziomie \(\alpha=0,05\).
Zadanie 10
Dla 7 par pomiarów (np. wydajność przed i po aktualizacji sterownika) odnotowano, czy wynik się poprawił (+), czy pogorszył (-). Otrzymano sekwencję: \(+, -, +, +, +, +, -\).
Zweryfikować hipotezę, że aktualizacja nie ma wpływu na wydajność (prawdopodobieństwo poprawy \(p=0,5\)).