LISTA ZADAŃ NR 7: Estymacja punktowa i przedziałowa

Zadanie 1

Znaleźć przedział ufności dla nieznanej wartości przeciętnej \(\mu\) populacji, w przypadku gdy \(\sigma\) jest znane, na podstawie \(n\)-elementowej próby prostej \(X_1, ..., X_n\).

Dane: Z populacji o odchyleniu standardowym \(\sigma=0,14\) pobrano próbkę \(n=100\) elementową (np. pomiarów napięcia na procesorze). Średnia z próby wyniosła \(\bar{x}=2,5\). Wyznaczyć 95%-owy przedział ufności dla średniej (przyjąć \(1-\alpha = 0,95\), co daje \(u_{\alpha} = 1,96\)).

Zadanie 2

Zmierzono wytrzymałość 10 losowo wybranych elementów konstrukcji (lub np. czas pracy na baterii 10 laptopów). Otrzymano wyniki: \(383, 284, 339, 340, 305, 386, 378, 335, 344, 346\).

Zakładając, że rozkład cechy jest normalny, wyznaczyć 95%-owy przedział ufności dla średniej wytrzymałości.

Wskazówka: Ponieważ \(n=10\) jest małe (\(n<30\)) i nie znamy \(\sigma\), należy obliczyć \(s\) z próby i skorzystać z rozkładu t-Studenta.

Zadanie 3

W celu wyznaczenia ładunku elektronu wykonano 26 pomiarów metodą Millikana. Otrzymano średnią \(\bar{x} = 1,574 \cdot 10^{-19}\) oraz odchylenie standardowe \(s = 0,043 \cdot 10^{-19}\).

Wyznaczyć przedział ufności dla średniego ładunku na poziomie ufności \(0,99\).

Zadanie 4

Z populacji włókien bawełny pobrano 300-elementową próbkę i zmierzono ich długości. Obliczono średnią \(\bar{x}=27,43\) mm oraz wariancję \(s^2=51,598\).

Znaleźć 95%-ową realizację przedziału ufności dla nieznanej wartości przeciętnej długości włókna.

Wskazówka: Przy tak dużym \(n\) (\(n=300\)), rozkład t-Studenta jest praktycznie tożsamy z rozkładem normalnym, więc można użyć statystyki \(u_{\alpha}\).

Zadanie 5

Wykonuje się pomiary głębokości morza (lub np. opóźnienia w sieci) w pewnym określonym miejscu.

Ilu niezależnych pomiarów należy dokonać, aby przyjąć z poziomem ufności \(0,95\), że błąd bezwzględny szacowania średniej nie przekroczy \(10\) m, jeśli rozkład błędów jest normalny o wariancji \(\sigma^2 = 180\) \(m^2\)?

Zadanie 6

Spośród 120 wylosowanych pracowników pewnego zakładu, 17 nie wykonywało normy wydajności pracy (w IT: 17 na 120 serwerów nie spełniło wymogów SLA).

Wyznaczyć 95%-ową realizację przedziału ufności dla frakcji \(p\) pracowników niewykonujących normy w całym zakładzie.

Zadanie 7

Wykonano 15 pomiarów czasu likwidowania zrywów przędzy na krosnach. Obliczono wariancję z próby \(s^2 = 134,2\). Zakładając, że czas ten ma rozkład normalny, wyznaczyć 90%-owy przedział ufności dla wariancji \(\sigma^2\) oraz odchylenia standardowego \(\sigma\). Wariancja próbkowa ( s^2 ) została obliczona z dzieleniem przez ( n-1 ).

Wskazówka: Należy skorzystać z tablic rozkładu chi-kwadrat (\(\chi^2\)).

Zadanie 8

Dla pewnej cechy o rozkładzie normalnym wylosowano dwie próbki:

Próbka 1: \(n=25\), średnia \(\bar{x}=15\), odchylenie \(s=5\).
Próbka 2: \(n=100\), średnia \(\bar{x}=15\), odchylenie \(s=5\).

Obliczyć długości 95%-owych przedziałów ufności dla obu prób. Jak czterokrotne zwiększenie liczebności próby wpływa na precyzję (szerokość przedziału)?

Zadanie 9

Dana jest próbka prosta o liczebności \(n=5\): \(\{2, 4, 6, 8, 10\}\). Obliczyć wartość estymatora nieobciążonego wartości oczekiwanej (\(\bar{x}\)) oraz estymatora nieobciążonego wariancji (\(s^2\)).

Wyjaśnić, dlaczego przy wariancji dzielimy przez \(n-1\), a nie przez \(n\).

Zadanie 10

Zbadano procentową zawartość skrobi w 80 ziemniakach. Średnia z próby wyniosła \(\bar{x}=17,525\%\), a odchylenie standardowe \(s=1,84\%\).

Przyjmując poziom ufności 0,95, oszacować średnią zawartość skrobi w całej partii.