LISTA ZADAŃ NR 6: Podstawowe statystyki i ich rozkłady

Zadanie 1 (Szereg rozdzielczy)

Z populacji generalnej pobrano \(n=50\)-elementową próbkę (wyniki pomiarów). Otrzymano następujące wyniki surowe:

\[3.6, 5.0, 4.0, 4.7, 5.2, 5.9, 4.5, 5.3, 5.5, 3.9,\]

\[5.6, 3.5, 5.4, 5.2, 4.1, 5.0, 3.1, 5.8, 4.8, 4.4,\]

\[4.6, 5.1, 4.7, 3.0, 5.5, 6.1, 3.8, 4.9, 5.6, 6.1,\]

\[5.9, 4.2, 6.4, 5.3, 4.5, 4.9, 4.0, 5.2, 3.3, 5.4,\]

\[4.7, 6.4, 5.1, 3.4, 5.2, 6.2, 4.4, 4.3, 5.8, 3.7.\]

Na podstawie tych danych:

Sporządzić szereg rozdzielczy, przyjmując liczbę klas \(k=7\).
Wyznaczyć rozstęp \(R\) oraz długość klasy \(b\).

Zadanie 2 (Miary położenia)

Dla próbki z Zadania 1, po uporządkowaniu wyników rosnąco wyznaczyć:

Medianę (\(m_e\)) – wartość środkową.
Modę (\(m_o\)) – wartość najczęstszą.
Porównać, czy w tym przypadku \(m_e \approx \bar{x}\) (gdzie \(\bar{x} = 4.844\)).

Zadanie 3

W pewnym eksperymencie chemicznym (lub procesie produkcji procesorów) badano ilość czystej substancji. Dla 5 pomiarów otrzymano wyniki: \(3.5, 3.4, 2.1, 5.4, 1.1\).

Obliczyć:

Średnią arytmetyczną z próby \(\bar{x}\).
Wariancję z próby \(s^2\) (używając wzoru dla małej próby).
Odchylenie standardowe \(s\).

Zadanie 4

Pojazd (lub pakiet danych w sieci) przebył drogę złożoną z trzech odcinków o tej samej długości, ale z różnymi prędkościami: \(v_1=50, v_2=60, v_3=70\) km/h. Obliczyć średnią prędkość na całej trasie.

Wskazówka: Należy użyć średniej harmonicznej, a nie arytmetycznej.

Zadanie 5

Dane są dwie sześcioelementowe próbki (np. czasy dostępu do dwóch różnych dysków):

Próbka I: \(80, 40, 40, 80, 40, 80\)
Próbka II: \(40, 80, 120, 80, 120, 40\)

Obliczyć współczynniki zmienności \(v = \frac{s}{\bar{x}}\) dla obu próbek. Który dysk działa bardziej stabilnie (ma mniejszy rozrzut względny)?

Zadanie 6

Z populacji o rozkładzie normalnym \(N(\mu, \sigma)\) pobrano próbę o liczebności 36. Średnia z próby wyniosła \(\bar{x} = 150\), a odchylenie standardowe populacji jest znane i wynosi \(\sigma = 12\). Wyznaczyć dwustronny przedział ufności dla średniej w populacji \(\mu\) na poziomie ufności 0.95. W tym celu należy wykorzystać fakt, że statystyka:

\[ U = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma} \sqrt{n} \]

ma rozkład \(N(0,1)\).

Zadanie 7

Wylosowano małą próbkę (10 elementów) z populacji o rozkładzie normalnym. Ponieważ nie znamy odchylenia standardowego populacji \(\sigma\), musimy użyć odchylenia z próby \(S\) (liczonego ze wzoru z dzieleniem przez \(n\)). Statystyka:

\[ t = \frac{\bar{X} - \mu}{S} \sqrt{n-1} \]

podlega rozkładowi t-Studenta. Odczytać z tablic wartości krytyczne do zbudowania dwustronnego przedziału ufności na poziomie ufności 0.95.

Zadanie 8

Dla badania wariancji (rozrzutu) próby stosuje się statystykę:

\[ \chi^2 = \frac{nS^2}{\sigma^2} \]

Uwaga: Symbol \(S^2\) oznacza wariancję z próby liczoną ze wzoru z dzieleniem przez \(n\) (zgodnie z definicją w podręczniku Krysickiego).

Wykonano 15 pomiarów. Odczytać z tablic rozkładu chi-kwadrat wartości krytyczne odcinające symetryczne obszary w ogonach rozkładu (po 5% prawdopodobieństwa na każdy ogon), między którymi z prawdopodobieństwem 0.90 znajdzie się ta statystyka.

Zadanie 9

Dana jest 3-elementowa populacja o wartościach {2, 4, 6}. Wypisać wszystkie możliwe 2-elementowe próby (przy losowaniu ze zwracaniem), obliczyć średnią dla każdej z nich, a następnie pokazać, że wartość oczekiwana tych średnich z prób jest równa średniej całej populacji. W ten sposób wykażesz liczbowo, że średnia z próby jest estymatorem nieobciążonym.

Zadanie 10

Dla małej próbki: \(0.18, 0.56, 0.87, 1.37, 2.46\) wyznaczyć wartości dystrybuanty empirycznej \(S_n(x)\).