LISTA ZADAŃ NR 5: Twierdzenia graniczne i aproksymacje

Zadanie 1

Twierdzenie Poissona – rzadkie zdarzenia Wadliwość produkcji pewnego elementu elektronicznego wynosi \(p=0,002\). W partii towaru znajduje się \(n=1000\) sztuk tych elementów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w tej partii: 1. nie będzie ani jednej sztuki wadliwej, 2. będą co najwyżej 3 sztuki wadliwe.

Wskazówka: Ponieważ \(n\) jest duże (\(n \ge 100\)), a \(p\) małe (\(p \le 0,1\)) i \(np \le 10\), należy zastosować przybliżenie rozkładem Poissona z parametrem \(\lambda = np\).

Zadanie 2

Twierdzenie Moivre’a-Laplace’a (całkowe) – rzut monetą Rzucamy symetryczną monetą \(n=100\) razy. Obliczyć prawdopodobieństwo, że liczba uzyskanych orłów będzie się mieścić w przedziale \(\langle 45, 55 \rangle\).

Cel: Zastosowanie aproksymacji rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym dla dużej liczby prób.

Zadanie 3

Dobór liczebności próby (odwrócone CTG) Prawdopodobieństwo urodzenia chłopca wynosi \(p=0,515\). Ile razy należy powtórzyć doświadczenie (urodzenia), aby z prawdopodobieństwem co najmniej \(0,95\) można było twierdzić, że częstość występowania chłopców w próbie będzie się różnić od prawdopodobieństwa \(p\) o mniej niż \(0,01\)?

Wskazówka: Należy skorzystać z nierówności \(P(|\frac{k}{n} - p| < \varepsilon) \ge 1 - \alpha\) przy użyciu dystrybuanty normalnej.

Zadanie 4

Centralne Twierdzenie Graniczne – suma błędów zaokrągleń Dodajemy do siebie \(n=100\) liczb, z których każda została zaokrąglona do najbliższej liczby całkowitej. Błędy zaokrągleń są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na przedziale \((-0,5; 0,5)\). Obliczyć prawdopodobieństwo, że błąd sumy tych liczb (co do modułu) nie przekroczy \(3\).

Komentarz: Jest to klasyczny przykład sumowania zmiennych o rozkładzie innym niż normalny (tu: jednostajny), które w sumie dają rozkład normalny.

Zadanie 5

Centralne Twierdzenie Graniczne – obciążenie windy Winda towarowa może unieść ciężar do \(2000\) kg. Do windy wchodzi \(25\) osób. Waga losowego pasażera jest zmienną losową o wartości oczekiwanej \(75\) kg i odchyleniu standardowym \(10\) kg. Obliczyć prawdopodobieństwo, że waga pasażerów nie przekroczy dopuszczalnego obciążenia windy.

Zadanie 6

Aproksymacja czasu pracy – rozkład wykładniczy Bateria w laptopie ma czas pracy będący zmienną losową o rozkładzie wykładniczym ze średnią \(4\) godziny. Użytkownik planuje dłuższą pracę w terenie i zabiera ze sobą \(36\) naładowanych baterii (wymienia je natychmiast po wyczerpaniu). Jakie jest prawdopodobieństwo, że łączny czas pracy na tym zestawie baterii przekroczy \(150\) godzin?

Zadanie 7

Lokalne Twierdzenie Moivre’a-Laplace’a Zdarzenie \(A\) występuje w pojedynczym doświadczeniu z prawdopodobieństwem \(p=0,6\). Doświadczenie powtarzamy \(n=600\) razy. Obliczyć prawdopodobieństwo, że zdarzenie \(A\) zajdzie dokładnie \(370\) razy.

Wskazówka: Dla dużych \(n\) prawdopodobieństwo punktowe \(P(X=k)\) przybliżamy wartością gęstości rozkładu normalnego.

Zadanie 8

Porównanie aproksymacji Prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie wynosi \(p=0,1\). Wykonujemy \(n=30\) prób. Obliczyć prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie 2 sukcesów, stosując: 1. dokładny wzór Bernoulliego, 2. przybliżenie Poissona, 3. lokalne twierdzenie Moivre’a-Laplace’a. Porównać wyniki.

Zadanie 9

Nierówność Czebyszewa Zmienna losowa \(X\) ma wartość oczekiwaną \(E(X)=10\) i wariancję \(D^2(X)=4\). Nie znając dokładnego rozkładu tej zmiennej, oszacować (podać ograniczenie dolne) prawdopodobieństwo, że zmienna \(X\) przyjmie wartość z przedziału \((4, 16)\).

Zadanie 10

Zastosowanie statystyczne – średnia z próby Z populacji, w której cecha \(X\) ma rozkład (niekoniecznie normalny) o średniej \(\mu=100\) i wariancji \(\sigma^2=25\), pobrano losową próbę o liczebności \(n=100\). Obliczyć prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna z tej próby \(\bar{X}\) będzie mniejsza niż \(99\).