LISTA ZADAŃ NR 4: Wybrane rozkłady zmiennych losowych

Zadanie 1

Prawdopodobieństwo awarii aparatury doświadczalnej w jednym doświadczeniu wynosi \(p=0,02\). Doświadczenia można przeprowadzać dowolną liczbę razy. Obliczyć prawdopodobieństwo, że druga z kolei awaria:

1. zdarzy się przy dziesiątym doświadczeniu,
2. nie zdarzy się w pierwszych dziesięciu doświadczeniach.

Zadanie 2

Prawdopodobieństwo, że produkt poddawany próbie nie wytrzyma tej próby wynosi \(p=0,01\). Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród 200 takich produktów (niezależnie poddanych próbie) co najwyżej 2 nie wytrzymają próby.

Wskazówka: Ponieważ \(n=200\) jest duże, a \(p=0,01\) małe, należy zastosować przybliżenie rozkładem Poissona z parametrem \(\lambda = np\).

Zadanie 3

Czas (w minutach) między kolejnymi zgłoszeniami abonentów w pewnej centrali telefonicznej jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem (wartością oczekiwaną) \(\lambda=2\). Obliczyć średni czas między kolejnymi zgłoszeniami oraz prawdopodobieństwo, że przed upływem 3 minut nastąpi zgłoszenie.

Zadanie 4

Czas bezawaryjnej pracy \(X\) pewnego urządzenia ma rozkład wykładniczy z parametrem (wartością oczekiwaną) \(\lambda=5\). Obliczyć:

1. wartość przeciętną bezawaryjnego czasu pracy urządzenia,
2. medianę,
3. prawdopodobieństwo, że bezawaryjny czas pracy urządzenia wynosi co najmniej 5 godzin.

Zadanie 5

Odstęp między kolejnymi podziałkami skali stopera wynosi \(0,1\) s. Czas na tym stoperze odczytuje się z dokładnością do całej podziałki. Zakładając jednostajny rozkład błędu odczytu czasu, obliczyć prawdopodobieństwo, że zmierzono czas z błędem przekraczającym \(0,02\) s.

Wskazówka: Gęstość rozkładu jednostajnego jest stała w przedziale \((-0,05; 0,05)\).

Zadanie 6

Automat produkuje odważniki 10-gramowe. Błędy pomiarów masy tych odważników mają rozkład normalny o wartości oczekiwanej \(\mu=0\) g i odchyleniu standardowym \(\sigma=0,01\) g. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że pomiar masy będzie przeprowadzony z błędem nie przekraczającym \(0,02\) g.

Zadanie 7

Niech zmienna losowa \(X\) ma rozkład \(N(\mu, \sigma)\). Obliczyć prawdopodobieństwo \(P(|X-\mu| < k\sigma)\) dla:

1. \(k=1,96\) (poziom ufności 0,95),
2. \(k=2,58\) (poziom ufności 0,99).

Zadanie 8

Pewien przyrząd pomiarowy robi błąd systematyczny \(1\) m w stronę zawyżenia pomiaru i błąd losowy o rozkładzie \(N(0; 0,5)\).

1. Obliczyć wartość przeciętną błędu pomiaru.
2. Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że błąd z jakim mierzone jest badane przedmioty nie przekracza \(2\) m.

Zadanie 9

Wytrzymałość stalowych lin pochodzących z produkcji masowej jest zmienną losową o rozkładzie \(N(1000 \text{ kg/cm}^2, 50 \text{ kg/cm}^2)\). Obliczyć jaki procent lin ma wytrzymałość mniejszą od \(900 \text{ kg/cm}^2\).

Zadanie 10

Wyznaczyć i naszkicować dystrybuantę rozkładu Rayleigha, którego gęstość dana jest wzorem:

\[ f(x) = \begin{cases} \frac{2}{\lambda} x \exp(-\frac{x^2}{\lambda}) & \text{dla } x > 0 \\ 0 & \text{dla } x \leqslant 0 \end{cases} \]

(gdzie parametr lambda jest związany z wariancją szumu)

Następnie obliczyć medianę tego rozkładu.

Wskazówka: Rozkład ten stosuje się często w telekomunikacji do modelowania zaników sygnału.