LISTA ZADAŃ NR 3: Parametry rozkładu zmiennych losowych

(Wartość oczekiwana, wariancja, momenty, korelacja)

Zadanie 1

Dla zmiennej losowej \(X\) o funkcji prawdopodobieństwa danej tabelką:

\(x_i\)	-2	2	4
\(p_i\)	0,5	0,3	0,2

Wyznaczyć:

Wartość oczekiwaną \(E(X)\) (średnią).
Wariancję \(D^2(X)\) (korzystając ze wzoru \(D^2(X) = E(X^2) - (EX)^2\)).
Odchylenie standardowe \(\sigma\).
Medianę \(x_{0,5}\) (wartość środkową).

Zadanie 2

Miesięczny koszt \(U\) prowadzenia pewnego systemu zależy od liczby \(X\) aktywnych użytkowników (pracowników) według wzoru:

\[ U = 15000X + 10000\sqrt{X} \]

Liczba pracowników \(X\) jest zmienną losową o rozkładzie:

\(x_i\)	2	3	4	5
\(p_i\)	0,10	0,25	0,40	0,25

Obliczyć przewidywany średni miesięczny koszt, czyli wartość oczekiwaną zmiennej \(U\).

Wskazówka: Oblicz \(u_i\) dla każdego \(x_i\), a następnie zastosuj wzór na wartość oczekiwaną.

Zadanie 3

Zmienna losowa \(X\) (np. błąd pomiarowy) ma rozkład o gęstości:

\[ f(x) = \begin{cases}6x(1-x) & \text{dla } 0 < x < 1 \\0 & \text{dla pozostałych } x\end{cases} \]

Obliczyć wartość przeciętną (oczekiwaną) oraz wariancję tej zmiennej. Następnie obliczyć wariancję zmiennej liniowo zależnej \(Y = 2X - 1\) (skorzystać z własności wariancji: \(D^2(aX+b) = a^2 D^2(X)\)).

Zadanie 4

Zmienna losowa \(X\) ma rozkład o gęstości:

\[ f(x) = \begin{cases}\frac{1}{2}x & \text{dla } 0 \leqslant x \leqslant 2 \\0 & \text{poza tym}\end{cases} \]

Wyznaczyć modę (wartość, dla której gęstość jest największa) oraz medianę (wartość, która dzieli pole pod wykresem gęstości na dwie równe połowy).

Zadanie 5

Wzrost ludzi w pewnej grupie jest zmienną losową \(X\) o średniej \(EX = 170\) cm i odchyleniu \(\sigma_X = 5\) cm. Masa tych ludzi to zmienna \(Y\) o średniej \(EY = 65\) kg i odchyleniu \(\sigma_Y = 5\) kg.

Która cecha (wzrost czy waga) jest bardziej "stabilna" (ma mniejszy rozrzut względny)?

Wskazówka: Oblicz współczynnik zmienności \(v = \frac{\sigma}{EX}\) dla obu zmiennych.

Zadanie 6

Prawdopodobieństwo nieprzekroczenia w ciągu doby limitu zużycia energii elektrycznej przez pewien zakład wynosi \(p=0,8\). Obserwujemy ten zakład przez \(n=5\) dni. Niech \(X\) oznacza liczbę dni, w których nie przekroczono limitu.

Jaki to typ rozkładu? Podać wzór na prawdopodobieństwo \(P(X=k)\).
Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej \(X\), korzystając z gotowych wzorów dla tego rozkładu (\(EX=np\), \(D^2X=npq\)).

Zadanie 7

Czas (w minutach) między kolejnymi zgłoszeniami abonentów w centrali telefonicznej jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem (wartością oczekiwaną) \(\lambda = 2\).

Obliczyć średni czas oczekiwania na zgłoszenie (\(EX\)).
Obliczyć prawdopodobieństwo, że czas między zgłoszeniami będzie krótszy niż 3 minuty (\(P(X<3)\)).

Zadanie 8

Automat produkuje odważniki. Błędy pomiarów masy mają rozkład normalny o wartości oczekiwanej \(\mu=0\) g i odchyleniu standardowym \(\sigma=0,01\) g. Obliczyć prawdopodobieństwo, że błąd pomiaru (co do modułu) nie przekroczy \(0,02\) g.

Wskazówka: Skorzystać z dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego \(\Phi(u)\). Zauważ, że \(P(|X|<a) = P(-a < X < a)\).

Zadanie 9

Dana jest dwuwymiarowa zmienna losowa \((X, Y)\) o rozkładzie podanym w tabeli (reprezentująca np. wyniki testów w dwóch różnych momentach czasu):

\(y_k \backslash x_i\)	8	9	10	11
1,2	0,10	0,04	0	0
1,3	0,05	0,11	0,20	0
1,4	0	0,10	0,15	0,10
1,5	0	0	0,05	0,10

Obliczyć współczynnik korelacji liniowej \(\rho\) między zmiennymi \(X\) i \(Y\).

Wskazówka: Należy obliczyć kolejno: średnie \(EX, EY\), wariancje \(D^2X, D^2Y\) oraz moment mieszany \(E(XY) = \sum x_i y_k p_{ik}\). Kowariancja to \(cov(X,Y) = E(XY) - EX \cdot EY\).

Zadanie 10

Niech \(X\) i \(Y\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o zerowych wartościach oczekiwanych (\(EX=0, EY=0\)). Wykazać, że zachodzi równość:

\[E(X^3 Y) = E(X^3)E(Y)\]

Czy zmienna \(Z = X^3 Y\) ma wartość oczekiwaną równą 0? Co to oznacza w kontekście sygnałów losowych (szum)?