LISTA ZADAŃ NR 2: Zmienne losowe (jednowymiarowe i dwuwymiarowe)

Zadanie 1

W grupie studenckiej przeprowadzono sprawdzian. Niech \(X\) oznacza ocenę (na skali ocen 2–5) losowo wybranego studenta. Czy \(X\) jest zmienną losową?

Jeżeli przyjmiemy, że grupę stanowi 10 osób, a ich oceny to zbiór \(\{5, 4, 3, 3, 4, 5, 3, 3, 4, 2\}\), to jak zdefiniować tę zmienną losową i jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania poszczególnych ocen?

Zadanie 2

Zakładając, że stosunek ocen bardzo dobrych, dobrych, dostatecznych i niedostatecznych ma się tak, jak \(1:3:4:2\), wyznaczyć dla określonej tam zmiennej losowej \(X\):

funkcję prawdopodobieństwa i jej wykres,
dystrybuantę i jej wykres,
prawdopodobieństwo \(P(X < 3,5)\).

Zadanie 3

Miesięczny koszt \(u\) prowadzenia przykładowego laboratorium jest zależny od liczby \(x\) zatrudnionych w nim pracowników. Załóżmy, że zależność ta jest postaci:

\[ u = 15000x + 10000\sqrt{x} \]

Liczbę pracowników traktujemy jako zmienną losową \(X\) o rozkładzie:

\(x_i\)	2	3	4	5
\(p_i\)	0,10	0,25	0,40	0,25

Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa kosztów (zmienna losowa \(U\)).

Zadanie 4

W wielu sytuacjach (np. w informatyce i elektronice) można przyjąć, że czas \(X\) bezawaryjnej pracy badanego urządzenia jest zmienną losową ciągłą o gęstości:

\[ f(x) = \begin{cases}\frac{1}{\lambda} \exp\left(-\frac{x}{\lambda}\right) & \text{dla } x > 0 \\0 & \text{dla pozostałych } x\end{cases} \]

(jest to tzw. rozkład wykładniczy). Niech parametr \(\lambda = 10\) (np. godzin).

Obliczyć prawdopodobieństwo, że urządzenie będzie działać bezawaryjnie od 5 do 10 godzin: \(P(5 \leqslant X \leqslant 10)\).
Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej.

Zadanie 5

Dobrać tak stałe \(A\) i \(B\), by funkcja określona wzorem:

\[ F(x) = A + B \arctan x \quad \text{dla } -\infty < x < \infty \]

była dystrybuantą pewnej zmiennej losowej ciągłej \(X\). Następnie wyznaczyć gęstość tej zmiennej.

Zadanie 6

Pewien mechanizm składa się z dwóch kół zębatych: dużego i małego. Warunki techniczne przy montażu urządzenia zostają naruszone, jeśli w obu kołach występują dodatnie odchylenia grubości zębów („plusowe”) lub w obu kołach ujemne („minusowe”). Rozważmy zero-jedynkowe zmienne losowe \(X\) i \(Y\):

\(X=1\), jeśli duże koło jest „plusowe”, \(X=0\) jeśli „minusowe”.
\(Y=1\), jeśli małe koło jest „plusowe”, \(Y=0\) jeśli „minusowe”.

Prawdopodobieństwa wystąpienia tych zdarzeń są następujące: \(P(X=0, Y=0) = P(X=1, Y=1) = \frac{1}{4}\) (awaria/zły montaż) \(P(X=0, Y=1) = P(X=1, Y=0) = \frac{1}{4}\) (dobry montaż)

Wyznaczyć tabelę rozkładu łącznego tej zmiennej dwuwymiarowej oraz obliczyć prawdopodobieństwo, że montaż jest prawidłowy.

Zadanie 7

Dwuwymiarowa zmienna losowa \((X, Y)\) ma rozkład określony w tabelce:

\(Y \backslash X\)	1	2	3
2	0,1	0,2	0,3
4	0,1	0,1	0,2

Wyznaczyć dystrybuantę rozkładu brzegowego zmiennej losowej \(Y\).

Zadanie 8

Dwie osoby z miasta A usiłują nawiązać połączenie telefoniczne z miastem B. Niech \(X\) oznacza liczbę prób pierwszej osoby, a \(Y\) – liczbę prób drugiej osoby. Zakładamy, że każda z osób łączy się niezależnie. Wiadomo, że rozkłady prawdopodobieństwa liczby prób dla obu osób są następujące:

Dla osoby 1 (\(X\)): \(P(X=1)=0,6\), \(P(X=2)=0,4\)
Dla osoby 2 (\(Y\)): \(P(Y=1)=0,5\), \(P(Y=2)=0,5\)

Wyznaczyć rozkład łączny zmiennej dwuwymiarowej \((X, Y)\) (tabelkę), zakładając niezależność prób obu osób.

Zadanie 9

Dobrać tak stałą \(c\), by funkcja:

\[ f(x, y) = \begin{cases}cxy & \text{dla } 0 \leqslant x \leqslant 2 \land 0 \leqslant y \leqslant 1 \\0 & \text{dla pozostałych } (x, y)\end{cases} \]

była gęstością dwuwymiarowej zmiennej losowej \((X, Y)\).

Zadanie 10

Dla funkcji gęstości z Zadania 9 (po wyznaczeniu \(c\)), wyznaczyć gęstości brzegowe \(f_1(x)\) oraz \(f_2(y)\). Sprawdzić, czy zmienne \(X\) i \(Y\) są niezależne (czy \(f(x,y) = f_1(x) \cdot f_2(y)\)).