6. Zastosowania rachunku
Zastosowania rachunku różniczkowego i całkowego
Zad 1.
Pole koła. Korzystając z całki oznaczonej, wyprowadź wzór na pole koła o promieniu \(R\). Wskazówka: Oblicz pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji:
oraz osią \(Ox\) w przedziale \([-R, R]\), a wynik pomnóż przez 2.
Zad 2.
Optymalizacja ogrodzenia. Rolnik chce ogrodzić prostokątne pastwisko przylegające jednym bokiem do rzeki (nie trzeba grodzić brzegu). Dysponuje siatką o długości \(L\) metrów. Jakie wymiary powinno mieć pastwisko, aby jego powierzchnia była największa?
Zad 3.
Kinematyka punktu. Położenie punktu materialnego poruszającego się wzdłuż osi \(Ox\) opisane jest równaniem:
gdzie \(t \ge 0\). Wyznacz prędkość \(v(t)\) oraz przyspieszenie \(a(t)\) tego punktu. W jakich chwilach czasu punkt się zatrzymuje? Kiedy przyspiesza, a kiedy zwalnia?
Zad 4.
Pudełko z kartonu. Z prostokątnego arkusza tektury o wymiarach \(30 \text{ cm} \times 48 \text{ cm}\) należy wyciąć w narożnikach jednakowe kwadraty, a następnie zagiąć brzegi, aby otrzymać otwarte pudełko. Jaki bok powinien mieć wycinany kwadrat, aby objętość pudełka była maksymalna?
Zad 5.
Ruch harmoniczny. Ciało o masie \(m\) zawieszone na sprężynie wykonuje drgania opisane równaniem wychylenia:
Oblicz prędkość i przyspieszenie tego ciała. Wykaż, że siła działająca na ciało (\(F = ma\)) jest proporcjonalna do wychylenia i skierowana przeciwnie do niego.
Zad 6.
Wytrzymałość belki. Wytrzymałość prostopadłościennej belki drewnianej jest wprost proporcjonalna do szerokości jej przekroju i kwadratu jego wysokości:
Jakie wymiary należy nadać belce wyciętej z cylindrycznego pnia o średnicy \(d\), aby jej wytrzymałość była największa?
Zad 7.
Stężenie leku. Stężenie leku we krwi pacjenta po czasie \(t\) (w godzinach) od podania opisuje funkcja:
Po jakim czasie stężenie leku jest maksymalne i ile wynosi? Kiedy stężenie zaczyna spadać najszybciej (punkt przegięcia)?
Zad 8.
Koszt instalacji kabla. Należy połączyć kablem stację energetyczną \(A\) znajdującą się na brzegu prostoliniowej rzeki o szerokości \(100 \text{ m}\) z fabryką \(B\) położoną po drugiej stronie rzeki, \(500 \text{ m}\) w dół nurtu od punktu naprzeciwko stacji. Koszt ułożenia kabla pod wodą jest dwukrotnie wyższy niż na lądzie. W którym punkcie na przeciwległym brzegu kabel powinien wyjść z wody, aby zminimalizować koszt inwestycji?
Zad 9.
Rzut pionowy. Ciało wyrzucono pionowo w górę z prędkością początkową \(v_0\) z wysokości \(h_0\). Wiedząc, że przyspieszenie grawitacyjne wynosi \(g\) (czyli \(a(t) = -g\)), wyznacz wzory na prędkość \(v(t)\) i położenie \(h(t)\) poprzez całkowanie. Oblicz maksymalną wysokość, jaką osiągnie ciało.
Zad 10.
Pole pod parabolą (Architektura). Zaprojektowano wejście do tunelu w kształcie paraboli o równaniu:
Oblicz pole powierzchni przekroju tego wejścia (obszar nad osią \(Ox\)).
Zad 11.
Praca siły zmiennej. Siła potrzebna do rozciągnięcia sprężyny jest proporcjonalna do jej wydłużenia (\(F(x) = kx\), prawo Hooke'a). Oblicz pracę, jaką trzeba wykonać, aby rozciągnąć sprężynę od stanu swobodnego (\(x=0\)) do wydłużenia \(x=L\), całkując siłę po przesunięciu.
Zad 12.
Wartość średnia napięcia. Napięcie prądu zmiennego w gniazdku opisuje funkcja \(U(t) = U_0 \sin(\omega t)\). Oblicz wartość średnią kwadratową napięcia (tzw. napięcie skuteczne \(U_{RMS}\)) w jednym okresie \(T = \frac{2\pi}{\omega}\), korzystając ze wzoru:
Zad 13.
Okno normandzkie. Okno ma kształt prostokąta zwieńczonego półkolem. Obwód całego okna jest ustalony i wynosi \(P\). Jakie powinny być wymiary części prostokątnej, aby przez okno wpadało jak najwięcej światła (maksymalizacja pola powierzchni)?
Zad 14.
Droga hamowania. Samochód jadący z prędkością \(v_0 = 30 \text{ m/s}\) zaczyna hamować. Opóźnienie jest stałe i wynosi \(a = -5 \text{ m/s}^2\). Oblicz, jaką drogę przebędzie samochód do momentu całkowitego zatrzymania. Użyj całek, wychodząc od \(a(t)\).
Zad 15.
Wzrost kolonii bakterii. Liczebność kolonii bakterii \(N(t)\) rośnie w tempie proporcjonalnym do aktualnej liczebności (prawo Malthusa), czyli:
Rozwiąż to równanie różniczkowe, wiedząc, że na początku było \(N_0\) bakterii. Po jakim czasie populacja się podwoi?
Zad 16.
Puszka napoju. Producent napojów chce zaprojektować puszkę w kształcie walca o ustalonej objętości \(V = 330 \text{ ml}\). Jakie powinny być promień podstawy i wysokość puszki, aby zużyć jak najmniej materiału (zminimalizować pole powierzchni całkowitej)?
Zad 17.
Opróżnianie zbiornika. Woda wypływa ze zbiornika z prędkością chwilową \(v(t) = 2t - 10\) litrów na minutę (dla \(t \in [0, 5]\)). Ile wody wypłynęło ze zbiornika w ciągu pierwszych 3 minut? Zinterpretuj to jako pole pod wykresem funkcji prędkości wypływu.
Zad 18.
Długość liny. Lina wisząca swobodnie między dwoma słupami przyjmuje kształt krzywej zwanej łańcuchową, którą w przybliżeniu można opisać parabolą \(y = \frac{1}{10}x^2\) dla \(x \in [-10, 10]\). Oblicz długość tej liny, korzystając ze wzoru na długość łuku krzywej:
Zad 19.
Optymalny kąt widzenia. Obraz o wysokości \(h\) wisi na ścianie tak, że jego dolna krawędź znajduje się na wysokości \(d\) powyżej poziomu oczu obserwatora. W jakiej odległości od ściany powinien stanąć obserwator, aby kąt widzenia obrazu (kąt pionowy) był największy?
Zad 20.
Objętość bryły obrotowej. Naczynie ma kształt powstały przez obrót krzywej \(y = \sqrt{x}\) wokół osi \(Ox\) dla \(x \in [0, 4]\). Oblicz objętość tego naczynia, korzystając z całki: