1. Wektory
Wektory
Zad 1.
Dla wektorów w przestrzeni
oblicz \(\mathbf{u}+\mathbf{v}\), \(\mathbf{u}-\mathbf{v}\), iloczyn skalarny \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\) oraz normy \(\|\mathbf{u}\|\) i \(\|\mathbf{v}\|\). Sprawdź, czy wektory są ortogonalne.
Zad 2.
Dla punktów \(A(1,0,2)\), \(B(3,-1,1)\) i \(C(2,2,0)\) oblicz wektory AB i AC oraz wyznacz kąt między nimi.
Zad 3.
Oblicz iloczyn wektorowy \(\mathbf{u}\times\mathbf{v}\) dla wektorów z zadania 1 i sprawdź, czy jest on ortogonalny do obu wektorów.
Zad 4.
Dla wektorów na płaszczyźnie: \(\mathbf{a}=[3,4]\) i \(\mathbf{b}=[-4,3]\) oblicz ich iloczyn skalarny i sprawdź, czy są prostopadłe. Wyznacz rzut wektora \(\mathbf{a}\) na \(\mathbf{b}\).
Zad 5.
Oblicz długość wektora \(\mathbf{c} = [1, 1]\) i znajdź wersor tego wektora.
Zad 6.
Oblicz długość wektora \(\mathbf{c} = [1, 2, 3]\) i znajdź wersor tego wektora.
Zad 7.
Oblicz pole trójkąta rozpiętego na wektorach \([2, 1, 2]\) i \([-1, 1,1]\).
Zad 8.
Oblicz kąt w stopniach między wektorami \([4,2,1]\) i \([1,3,2]\).
Zad 9.
Znajdź współrzędne środka odcinka o końcach \(A(-1, 2)\) i \(B(3, -2)\).
Zad 10.
Dla trójwymiarowych wektorów: \(\mathbf{a}=[a_x, a_y, a_z]\), \(\mathbf{b}=[b_x, b_y, b_z]\), \(\mathbf{c}=[c_x, c_y, c_z]\), udowodnij, że spełniona jest następująca tożsamość:
Zad 11.
Znajdź najbardziej ogólną postać wektora jednocześnie prostopadłego do
Zad 12.
Dla jakich wartości parametrów \(p\) i \(q\) wektory \(\mathbf{a}=[1-p,3,-1]\) i \(\mathbf{b}=[-2,4-q,2]\) są równoległe?
Zad 13.
Dla jakich wartości parametru \(s\) wektory \(\mathbf{p}=[s,2,1-s]\) i \(\mathbf{q}=[s,1,-2]\) są prostopadłe?
Zad 14.
Udowodnij, że dwa wektory muszą mieć równe długości, jeśli ich suma jest prostopadła do ich różnicy.
Zad 15.
\(\star\) Mamy 2 osoby (A i B) idące sobie zgodnie z wzorami:
A: \((4,5)+(1,-2) t\)
B: \((1,-8)+(2,4) t\)
gdzie \(t\) oznacza czas. Dla jakiego \(t\) osoby będą najbliżej siebie?