3. Odwracanie macierzy

Odwracanie macierzy

Zad 1.

Znajdź macierz odwrotną używając wzoru dla macierzy \(2\times2\)

\[ A=\begin{pmatrix}2 & 1\\ 5 & 3\end{pmatrix} \qquad B=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix} \qquad C=\begin{pmatrix}4 & 7\\ 2 & 6\end{pmatrix} \]

Zad 2.

Dla macierzy

\[ A=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 5\end{pmatrix} \quad B=\begin{pmatrix}12& 5\\ 7 & 3\end{pmatrix} \quad C=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 4\\ 5 & 6 & 0\end{pmatrix} \quad D=\begin{pmatrix}2 & 0 & 1\\ 1 & 3 & 0\\ 0 & 4 & 5\end{pmatrix} \]

oblicz macierze odwrotne za pomocą metod:

• dołączania macierzy jednostkowej i wykonywania eliminacji Gaussa-Jordana,
• użycia wzoru z macierzami dopełnień algebraicznych

Czyli dla każdej macierzy podaj dwie metody obliczenia macierzy odwrotnej (jeśli istnieje).

Zad 3.

Sprawdź, czy macierz

\[ H=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \]

jest odwracalna. Uzasadnij odpowiedź (użyj wyznacznika). Czy można było zauważyć to bez obliczania wyznacznika? Co musiałoby się stać, aby macierz była odwracalna?

Zad 4.

Dla macierzy \(A\) spełniającej \(A^{2}=I\) (tzw. involucja) pokaż, że \(A^{-1}=A\). Podaj przykład niebanalnej macierzy \(2\times2\) spełniającej ten warunek (innej niż \(I\) i \(-I\)). Ile jest takich macierzy?

Zad 5.

Oblicz macierz odwrotną macierzy diagonalnej \(D=\operatorname{diag}(2,5,-3,1)\), jeżeli istnieje. Omów warunek istnienia odwrotności dla macierzy diagonalnej.

Zad 6.

Rozwiąż równania macierzowe:

a)

\[\begin{bmatrix} 2 & 5 \\\ 1 & 3 \end{bmatrix} \cdot X = \begin{bmatrix} 4 & -6 \\\ 2 & 1 \end{bmatrix}\]

b)

\[\begin{bmatrix} 2 & 1 \\\ 5 & 3 \end{bmatrix} \cdot X = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]

c)

\[X \cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\\ 2 & 1 & 0 \\\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 3 \\\ 4 & 3 & 2 \\\ 1 & -2 & 5 \end{bmatrix}\]

d)

\[\begin{bmatrix} 3 & 2 & 3 \\\ 1 & 1 & 2 \\\ 3 & 2 & 4 \end{bmatrix} \cdot X = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\\ 1 & -1 & 2 \\\ 2 & 2 & 4 \end{bmatrix}\]