2. Wyznaczniki
Wyznaczniki
Zad 1.
Oblicz wyznacznik macierzy
\[
A=\begin{pmatrix}
2 & 3 & 1\\
0 & -1 & 4\\
5 & 2 & 0
\end{pmatrix}
\quad
B=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2\\
4 & 0 & 0\\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}
\qquad
C=\begin{pmatrix}
3 & 0 & 2\\
2 & 0 & -2\\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\]
używając metody Sarrusa.
Zad 2.
Wyznacz wyznaczniki używając rozwinięcia Laplace\'a:
\[
A=\begin{pmatrix}
1
\end{pmatrix}
\quad
B=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2\\
3 & 1 & 0\\
4 & 5 & 6
\end{pmatrix}
\quad
C=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
\]
Zad 3.
Pokaż, że jeżeli w macierzy dwa wiersze są równe, to wyznacznik jest równy zero. Daj przykład macierzy \(3\times3\) z dwoma równymi wierszami i oblicz jej wyznacznik. Uzasadnij, dlaczego tak się dzieje.
Zad 4.
Oblicz wyznacznik macierzy trójkątnej \(T\) o elementach diagonalnych \((3,-2,5,1)\).
Zad 5.
Dla macierzy zależnej od parametru \(t\):
\[
M(t)=\begin{pmatrix}
t & 1\\
2 & t\\
\end{pmatrix}
\]
oblicz \(\det(M(t))\) i znajdź wartości \(t\), dla których macierz jest singularna.
Zad 6.
Rozwiąż równanie
\[
\det\begin{pmatrix}
x & 3\\
2 & x
\end{pmatrix} = 0
\]
Zad 7.
\(\star\) Rozwiąż równanie
\[
\det\begin{pmatrix}
x & 3\\
2 & -x
\end{pmatrix} = 0
\]
Zad 8.
Oblicz wyznacznik macierzy
\[
\begin{vmatrix}
x & y & x+y \\
y & x+y & x \\
x+y & x & y
\end{vmatrix}
\]
Zad 9.
Wykaż, że zachodzi równość
\[
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
x & y & z \\
x^2 & y^2 & z^2
\end{vmatrix}
= (z-x)(z-y)(y-x)
\]
Udowodnij podobną równość dla wyznacznika
\[
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
x & y & z & u \\
x^2 & y^2 & z^2 & u^2 \\
x^3 & y^3 & z^3 & u^3
\end{vmatrix}
\]
Zad 10.
Oblicz wyznacznik macierzy
\[
\begin{vmatrix}
a & a & a \\
-a & a & a \\
-a & -a & a
\end{vmatrix}
\quad
\text{\&}
\quad
\begin{vmatrix}
a & 0 & b \\
0 & c & 0 \\
d & 0 & a
\end{vmatrix}
\]
Zad 11.
Sprawdź słuszność następujących związków:
a)
\[
\begin{vmatrix}
a+b & b \\
c+d & d
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix}
\]
b)
\[
\begin{vmatrix}
a+bx & b \\
c+dx & d
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix}
\]