1. Macierze i operacje

Macierze i podstawowe operacje

Zad 1.

Dla macierzy

\[ A=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix} \quad \text{i} \quad B=\begin{pmatrix}0 & -1\\ 2 & 1\end{pmatrix} \]

oblicz

• \(A+B\)
• \(A-B\)
• \(2A\)
• \(3B-2A\)
• \(A\cdot B\)
• sprawdź, czy \(A\cdot B = B\cdot A\).

Zad 2.

Dla macierzy

\[ A=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}, \quad B =\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix}, \quad C=\begin{pmatrix}4 & 0\\ 0 & 8\end{pmatrix}, \quad D=\begin{pmatrix}8 & 0\\ 0 & 16\end{pmatrix} \]

sprawdź, czy

\[ A\cdot B\cdot C\cdot D = B\cdot A\cdot D\cdot C = D\cdot C\cdot B\cdot A. \]

Zad 3.

Dana jest macierz

\[ C=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ -1 & 3 & 1\\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}. \]

Wyznacz macierz otrzymaną po przestawieniu wierszy: zamień 1. i 3. wiersz, a następnie dodaj do 2. wiersza dwukrotność nowego 1. wiersza. Zapisz wszystkie kroki dla każdej operacji.

Zad 4.

Dla wektorów kolumnowych \(u=(1,-2,3)^{\top}\) oraz \(v=(2,0,-1)^{\top}\) zapisz je jako macierze i oblicz \(u+v\), \(u-v\) oraz iloczyny macierzowe \(u\,v^{\top}\) i \(v\,u^{\top}\). Jaka jest rząd macierzy \(u\,v^{\top}\)?

Zad 5.

Pokaż, że macierz diagonalna \(D=\operatorname{diag}(2,-3,5)\) jest przemienna z dowolną macierzą diagonalną \(E=\operatorname{diag}(a,b,c)\). Dodatkowo oblicz \(D^{3}\) oraz, jeśli istnieje, \(D^{-1}\).

Zad 6.

\(\star\) Dla macierzy

\[ P=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix} \]

oblicz \(P^{2}\) i \(P^{3}\). Czy ciąg \(P^{n}\) ma zauważalny wzorzec dla \(n=1,2,3\)?

Zad 7.

\(\star\) Przykład kodowania rotacji

Policz iloczyn macierzy rotacji o kącie \(\theta\) w przestrzeni 2D:

\[ R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \]

Sprawdź, że \(R(\theta_1)R(\theta_2) = R(\theta_1 + \theta_2)\).

Zad 8.

\(\star\) Wiedząc, że

\[ \begin{aligned} \sin(x) &= x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \ldots \\ \cos(x) &= 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + \ldots \end{aligned} \]

pokaż, że macierz rotacji \(R(\theta)\) może być zapisana jako

\[ R(\theta) = I + A + \frac{1}{2!} A^{2} + \frac{1}{3!} A^{3} + \ldots \]

gdzie

\[ A = \begin{pmatrix}0 & -\theta\\ \theta & 0\end{pmatrix} \]

Zad 9.

\(\star\star\) Macierze Pauliego są zdefiniowane jako:

\[ \sigma_x = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix}0 & -i\\ i & 0\end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix} \]

gdzie \(i\) to jednostka urojona. Sprawdź, że:

• \(\sigma_x^2 = \sigma_y^2 = \sigma_z^2 = I\) (macierz jednostkowa)
• \(\sigma_x\sigma_y = i\sigma_z\), \(\sigma_y\sigma_z = i\sigma_x\), \(\sigma_z\sigma_x = i\sigma_y\)
• \(\{\sigma_i, \sigma_j\} = 2\delta_{ij}I\) (antykomutator)