3. Derivatives

Derivatives

Ex 1.

Calculate the derivatives of the functions

1) \(y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^4 + \frac{13}{5}x^5 - 2x^6\)

2) \(y = 5x^{15} - x^2 + \frac{1}{3}x - 2\)

3) \(y = ax^3 + \frac{b}{x} + c\)

4) \(y = \frac{4}{x^3}\)

5) \(y = 9x^7 + 3x^{-5} - 3x^{-11}\)

6) \(y = 3x^{7/3} - 4x^{13/4} + \frac{4}{7}x^{-1/2} + 7^{3/2}\)

7) \(y = \sqrt[3]{x^2}\)

8) \(y = 5\sqrt[3]{x^7}\)

9) \(y = 3\sqrt[3]{x} - x^3 + \frac{2}{3}\sqrt[3]{x^4}\)

10) \(y = \sqrt{x} - 5\sqrt[3]{x^2} - 2\sqrt{x^3}\)

11) \(y = \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{3}{\sqrt{x^3}}\)

12) \(y = \frac{5}{7\sqrt[3]{x}} - 2x^7 + \frac{3}{2\sqrt{x}}\)

13) \(x = t^3\sqrt{t}\)

14) \(y = \frac{2}{x^3\sqrt{x}}\)

15) \(y = (2\sqrt[3]{x^2}-x)(4\sqrt[3]{x^4}+2\sqrt[3]{x^5}+x^2)\)

16) \(y = (4x^2-2x\sqrt{x}+x)(2x+\sqrt{x})\)

17) \(y = \frac{3}{3x-2}\)

18) \(y = \frac{5}{2x^2-5x+1}\)

19) \(y = \frac{3x^2}{7x^5-x+2}\)

20) \(y = \frac{8x^3}{x^3+x-1}\)

21) \(y = \frac{x+1}{x-1}\)

22) \(y = \frac{5x^2+x-2}{x^2+7}\)

23) \(y = \frac{x^2-2x+3}{x^2+2x-3}\)

24) \(y = \frac{3}{(1-x^2)(1-2x^3)}\)

25) \(y = \frac{\sqrt[3]{x}}{1-\sqrt[3]{x}}\)

26) \(z = \frac{1+\sqrt{t}}{1+\sqrt{2t}}\)

27) \(s = (3t+1)^7\)

28) \(v = (4z^2-5z+13)^5\)

29) \(x = (\frac{1}{t}+4)^4\)

30) \(s = (\frac{7t^2-\frac{t}{2}+6}{t})^6\)

31) \(y = \sqrt{x^2-4}\)

32) \(z = \sqrt{ax^2+bx+c}\)

33) \(y = \frac{1}{\sqrt{2-3t}}\)

34) \(s = \frac{1}{\sqrt{6t-t^2}}\)

35) \(y = \frac{1}{\sqrt[3]{(2-x^3)^4}}\)

36) \(y = \frac{a}{\sqrt[p]{(a+bx)^r}}\)

37) \(y = \frac{1}{(b-x^n)^m}\)

38) \(y = \sqrt[4]{(x-1)^3}\)

39) \(u = \frac{1}{v-\sqrt{a^2+b^2}}\)

40) \(y = \sqrt{\frac{a-x}{a^2-x^2}}\), \(a>0\)

41) \(v = \frac{z}{\sqrt{a^2-z^2}}\)

42) \(y = \frac{3\sqrt{x}}{x^2+1}\)

43) \(y = \frac{x^2}{\sqrt[3]{x^3+1}}\)

44) \(z = \sqrt{\frac{x^2-3x+2}{x^2-7x+12}}\)

45) \(z = \sqrt{\frac{a^2-x^2}{a^2+x^2}}\)

46) \(s = \sqrt{\frac{1-\sqrt{t}}{1+\sqrt{t}}}\)

47) \(u = \frac{\sqrt{1+v}-\sqrt{1-v}}{\sqrt{1+v}+\sqrt{1-v}}\)

48) \(y=u(x)v(x)w(x)\)

49) \(v = \cos \frac{t}{a}\), \(a \ne 0\)

50) \(x = a \sin bt\)

51) \(y = a \sin \frac{a}{x}\)

52) \(z = 2x+\sin 2x\)

53) \(s = \sin^2 3t\)

54) \(v = 4\cos^5 \frac{t}{4}\)

55) \(s = \frac{1}{\cos^4 t}\)

56) \(v = \frac{5}{\sin^3 2t}\)

57) \(s = \frac{\sin t + \cos t}{2\sin 2t}\)

58) \(z = \frac{\sin \alpha}{\alpha} + \frac{\alpha}{\sin \alpha}\)

59) \(y = \frac{x \sin x}{1+\text{tg } x}\)

60) \(y = \frac{x}{\sin x + \cos x}\)

61) \(y = \cos x - \frac{1}{3}\cos^3 x\)

62) \(y = \frac{1}{3}\sin^3 x - \frac{2}{5}\sin^5 x + \frac{1}{7}\sin^7 x\)

63) \(y = \text{tg}^4 \sqrt{x}\)

64) \(y = 3\text{ctg } x + \text{ctg}^3 x\)

65) \(y = e^{ax}(a\sin x - \cos x)\)

66) \(y = x^2 e^{2x} \sin x\)

67) \(y = \cos^2 \frac{1}{\sqrt{x}}\)

68) \(y = 2\sin^4 \frac{3}{\sqrt{x}}\)

69) \(y = \frac{\sin^2 x}{\cos^7 x} - \frac{2}{5\cos^5 x}\)

70) \(y = \frac{3\cos^2 x}{\sin^4 x}\)

71) \(y = \sqrt{\sin x + \sqrt{x+2\sqrt{x}}}\)

72) \(y = \sqrt{1+\text{tg}(x+\frac{1}{x})}\)

73) \(z = \frac{3\text{tg } u - \text{tg}^3 u}{1-3\text{tg}^2 u}\)

74) \(z = \text{tg } u - \text{ctg } u - 2u\)

75) \(y = (4\sin x - 8\sin^3 x)\cos x\)

76) \(y = \text{arctg } 3x\)

77) \(y = 7\text{arctg } \frac{x}{2}\)

78) \(x = \arcsin(1-t)\)

79) \(x = \arccos \sqrt{1-t^2}\)

80) \(x = \arcsin \sqrt{t^3}\)

81) \(x = \arcsin \frac{1}{t}\)

82) \(y = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2}\), \(0<x<1\)

83) \(x = \arcsin(2t\sqrt{1-t^2})\)

84) \(y = \text{arctg}(x-\sqrt{x^2+1})\)

85) \(y = \text{arctg} \sqrt{x^2-1} - \frac{\ln x}{\sqrt{x^2-1}}\)

86) \(y = x\text{arctg } x - \frac{1}{2}\ln(x^2+1)\)

87) \(y = \frac{1}{6}x^5 \text{arctg } x - \frac{1}{24}x^4 + \frac{1}{12}x^2 - \frac{1}{12}\ln(1+x^2)\)

88) \(y = \arcsin \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)

89) \(y = \arccos \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}\)

90) \(y = \text{arctg}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\)

91) \(y = \text{arctg}\frac{1+x}{1-x}\), \(x \ne 1\)

92) \(y = \text{arctg}\frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}\)

93) \(y = \text{arctg}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\)

94) \(y = x^3 \text{arctg}^3 x\)

95) \(z = \frac{\arcsin 4y}{1-4y}\)

96) \(y = \frac{4}{\sqrt{3}}\text{arctg}\left[\frac{1}{\sqrt{3}}\left(2\text{tg}\frac{x}{2}+1\right)\right]-x\)

97) \(y = \frac{1}{\sqrt{a^2-b^2}}\arcsin\frac{a \cos x+b}{a+b \cos x}\)

98) \(y = e^{3x}\)

99) \(y = 5e^{4x}\)

100) \(y = e^{x^2}f(x)\)

101) \(y = 3e^{-2x}g(x)\)

102) \(y = e^{\sin x}\)

103) \(y = 5e^{\cos x}\)

104) \(y = e^{\cos^2 x}\)

105) \(y = 3e^{2\sin^3 x}\)

106) \(z = (v^3-3v^2+6v-6)e^v\)

107) \(z = (10x^2-1)e^{3x}\)

108) \(z = \frac{(2x-1)e^x}{2\sqrt{x}}\)

109) \(y = (x+k\sqrt{1-x^2})e^{k \arcsin x}\)

110) \(y = 5^x+2^x\)

111) \(y = 3^x x^3\)

112) \(y = 2^x \cdot 7^x - 1\)

113) \(y = 5 \cdot 10^{3x}\)

114) \(y = a^{2x}x^n\), \(a>0\)

115) \(y = \ln 3x\)

116) \(y = 7 \cdot 5^{10x}\)

117) \(z = \ln \frac{30}{x+3}\)

118) \(y = 5\ln 10x\)

119) \(s = \ln(t+\sqrt{t^2+1})\)

120) \(z = 3\ln \frac{5}{x-2}\)

121) \(s = \ln\sqrt{\frac{1+t}{1-t}}\)

122) \(y = 2\ln \frac{3}{t+\sqrt{t^2-4}}\)

123) \(y = \ln|\ln|x||\)

124) \(y = \ln\frac{a+b \text{ tg } x}{a-b \text{ tg } x}\)

125) \(y = \ln \text{tg}(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2})\), \(0<x<\frac{\pi}{2}\)

126) \(y = (\ln \cos \frac{x}{2})^2\)

127) \(y = \ln \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}\)

128) \(y = 15\ln\text{tg}\frac{x}{2} + \frac{\cos x}{\sin^4 x}(8\cos^4 x - 25\cos^2 x + 15)\)

129) \(y = \ln \sin x\)

130) \(y = \ln \frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\), \(0 \le x < 1\)

131) \(y = \ln(1+\frac{a}{x})\)

132) \(y = \ln(e^{mx}+e^{-mx})\)

133) \(y = \log_x \ln x\).

134) \(y = \log_x a\).

135) \(y = x^{5x}\), \(x>0\)

136) \(y = 10x^{-3x}\), \(x>0\)

137) \(y = x^{\sin x}\), \(x>0\)

138) \(y = 3x^{\cos x}\), \(x>0\)

139) \(y = (\frac{a}{x})^x\), \(a>0, x>0\)

140) \(y = x^{1/x}\), \(x>0\)

141) \(y = a^{\ln x}\), \(a>0, x>0\)

142) \(y = 5^{\sin 2x}\), \(x>0\)

143) \(y = x^{\ln x}\), \(x>0\); explain the result.

144) \(y = (\sin x)^{\cos x}\), \(0<x<\frac{\pi}{2}\)

145) \(y = (\text{arctg } x)^x\), \(x>0\)

146) \(y = (\text{tg } x)^{\sin x}\), \(0<x<\frac{\pi}{2}\)

147) \(y = (\text{tg } x)^{1/\cos x}\), \(0<x<\frac{\pi}{2}\)

148) \(y = (\cos x)^{\text{ctg } x}\), \(0<x<\frac{\pi}{2}\)

149) \(y = e^{e^x}\)

150) \(y = x^{e^x}\), \(x>0\)

151) \(y = x^{x^x}\), \(x>0\)

152) \(y = (1+\frac{1}{x})^x\)

153) \(y = x^{\sqrt{\frac{1}{x}}}\)